Question

19．設(shè)n∈N^*，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n+1=S_n+a_n+2，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，則求數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．

Answer 1

分析 通過S_n+1=S_n+a_n+2可知a_n+1=a_n+2，利用a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列可知$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），進而計算可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，整理即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n+1=S_n+a_n+2，
∴S_n+1-S_n=a_n+2，記a_n+1=a_n+2，
又∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），
解得：a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案為：2n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．