Question

7．已知函數(shù)f（x）=（4x²+4ax+a²）$\sqrt{x}$，其中a＜0．
（1）當(dāng)a=-4時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，求a的值；
（3）若f（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，試求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-4時，先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0，解不等式求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個方程，從而求出參數(shù)的值；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)不大于0，可得減區(qū)間，再由題意可得有-$\frac{a}{10}$≤1＜4≤-$\frac{a}{2}$，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解；（1）當(dāng)a=-4時，f（x）=（4x²-16x+16）$\sqrt{x}$，
∴f′（x）=（8x-16）$\sqrt{x}$+（4x²-16x+16）$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
=2$\sqrt{x}$（5x+$\frac{4}{x}$-12）=$\frac{2\sqrt{x}}{x}$（5x²-12x+4），
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x²-12x+4＞0
解得，x＞2或0＜x＜$\frac{2}{5}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{2}{5}$），（2，+∞）；
（2）∵f（x）=（4x²+4ax+a²）$\sqrt{x}$，
∴f′（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x}$（20x²+12ax+a²），
令f′（x）=0．解得x=$\frac{-a}{10}$或$\frac{-a}{2}$，
當(dāng)f′（x）＞0時，x在（0，$\frac{-a}{10}$），（$\frac{-a}{2}$，+∞）為單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，x在（$\frac{-a}{10}$，$\frac{-a}{2}$）上單調(diào)遞減，
①當(dāng)$\frac{-a}{10}$≥4，即a≤-40，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，
由f（1）=8，解得a=-2±2$\sqrt{2}$，不符合舍去．
②當(dāng)$\frac{-a}{2}$≤1，即-2≤a＜0時，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，
由f（1）=8，解得a=-2±2$\sqrt{2}$，不符合舍去．
③當(dāng)$\frac{-a}{10}$≤1，且$\frac{-a}{2}$≥4，即-10≤a≤-8時，f（x）在區(qū)間[1，4]為減函數(shù)，
由f（4）=8，解得a=-10；
④當(dāng)1＜$\frac{-a}{10}$＜4，即-40＜a＜-10時，由f（1）=8或f（4）=8，
解得，a=-2±2$\sqrt{2}$，或a=-6，a=-10，不符合舍去，
⑤當(dāng)1＜$\frac{-a}{2}$＜4，即-8＜a＜-4時，由f（-$\frac{a}{2}$）=8，無解．
綜上所述，a=-10；
（3）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x}$（20x²+12ax+a²），
令f′（x）≤0，可得-$\frac{a}{10}$≤x≤-$\frac{a}{2}$，
由題意可得[1，4]⊆[-$\frac{a}{10}$，-$\frac{a}{2}$]，
即有-$\frac{a}{10}$≤1＜4≤-$\frac{a}{2}$，
解得-10≤a≤-8．

點(diǎn)評 本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是分類討論．對學(xué)生的能力要求較高，屬于難題．