Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0φ＜$\frac{π}{2}$），且f（x）的最小正周期為π，f（0）=$\sqrt{2}$+1，f（x）的最大值為3
（1）求f（x）的解析表達(dá)式；
（2）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值時(shí)自變量x的集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由最大值為3可得A=2，再由周期可得ω=2，再利用f（0）=$\sqrt{2}$+1可得φ值，可得解析式；
（2）當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1即2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)f（x）的最小值，解此時(shí)的x即可；
（3）解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）的最大值為3，∴A+1=3，解得A=2，
又∵f（x）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
又∵f（0）=$\sqrt{2}$+1，∴2sinφ+1=$\sqrt{2}$+1，即sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
（2）當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1時(shí)，f（x）取最小值2×（-1）+1=-1，
此時(shí)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴f（x）的最小值為-1，此時(shí)x的自變量的集合為{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}；
（3）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式求解和單調(diào)性以及最值，屬中檔題．