Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-2（a-1）x-3．
（1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），求實數(shù)a的取值集合；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，且f（x）在x=2時取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），故函數(shù)f（x）的圖象是開口朝上，且以直線x=-1為對稱軸的拋物線，解得a值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)，則0＜$\frac{a-1}{a}$＜1，解得實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時，f（x）=2x-3在R上為增函數(shù)，滿足條件；
當(dāng)a＜0時，若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，且f（x）在x=2時取得最大值，則$\frac{a-1}{a}$≥2，
當(dāng)a＞0時，若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，且f（x）在x=2時取得最大值，則$\frac{a-1}{a}$≤1，
綜合滿足條件的a的范圍，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2（a-1）x-3，
若函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），
故函數(shù)f（x）的圖象是開口朝上，且以直線x=-1為對稱軸的拋物線，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-1=\frac{a-1}{a}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)，
則0＜$\frac{a-1}{a}$＜1，
解得：a＞1；
（3）當(dāng)a=0時，f（x）=2x-3在R上為增函數(shù)，滿足條件；
當(dāng)a＜0時，若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，且f（x）在x=2時取得最大值，則$\frac{a-1}{a}$≥2，解得：-1≤a＜0，
當(dāng)a＞0時，若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，且f（x）在x=2時取得最大值，則$\frac{a-1}{a}$≤1，解得：a＞0，
綜上所述，a≥-1

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．