Question

2．已知f（x）=sin（x+φ）cosx的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，且x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作函數(shù)y=|f（x）|+f（x）的圖象，寫出單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到f（x）=-f（-x），再由兩角和與差的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)，再根據(jù)x的范圍，即可得解函數(shù)的解析式．
（2）用五點(diǎn)法即可作出函數(shù)y=|f（x）|+f（x）的圖象，利用函數(shù)圖象即可寫出單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx=$±\frac{1}{2}$sin2x，（k∈Z）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，2x∈（0，π），$\frac{1}{2}$sin2x＞0．
∴k為偶數(shù)，f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x．
（2）作函數(shù)y=|f（x）|+f（x）的圖象如下：

由函數(shù)圖象可得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ，k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題是處理三角函數(shù)性質(zhì)的綜合題，要求掌握好三角的恒等變形及三角式的求值等方面的知識(shí)．考查綜合能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．