Question

7．設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0是，f（x）=x²，若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性的性質求出函數f（x）的表達式，判斷函數的單調性，利用參數分離法進行求解即可．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，
若當x≥0是，f（x）=x²，
則當-x＞0是，f（-x）=x²，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＜0，
則函數f（x）在定義域上為增函數，
若若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
則若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式x+t≤$\sqrt{2}$x恒成立，
即t≤$\sqrt{2}$x-x=（$\sqrt{2}$-1）x成立，
∵-2-$\sqrt{2}$≤x≤2+$\sqrt{2}$]，
∴（$\sqrt{2}$-1）（-2-$\sqrt{2}$）≤（$\sqrt{2}$-1）x≤（2+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$-1），
即-$\sqrt{2}$≤（$\sqrt{2}$-1）x≤$\sqrt{2}$，
即t≤-$\sqrt{2}$，
即實數t的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數的奇偶性求出函數的解析式以及判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．