Question

7．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0是，f（x）=x²，若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，
若當x≥0是，f（x）=x²，
則當-x＞0是，f（-x）=x²，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＜0，
則函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，
若若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式f（x+t）≤f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
則若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]，不等式x+t≤$\sqrt{2}$x恒成立，
即t≤$\sqrt{2}$x-x=（$\sqrt{2}$-1）x成立，
∵-2-$\sqrt{2}$≤x≤2+$\sqrt{2}$]，
∴（$\sqrt{2}$-1）（-2-$\sqrt{2}$）≤（$\sqrt{2}$-1）x≤（2+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$-1），
即-$\sqrt{2}$≤（$\sqrt{2}$-1）x≤$\sqrt{2}$，
即t≤-$\sqrt{2}$，
即實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式以及判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．