7.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0是,f(x)=x2,若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$,2+$\sqrt{2}$],不等式f(x+t)≤f($\sqrt{2}$x)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f(x)的表達式,判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用參數(shù)分離法進行求解即可.

解答 解:若x<0,則-x>0,
若當x≥0是,f(x)=x2,
則當-x>0是,f(-x)=x2,
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(-x)=x2=-f(x),
即f(x)=-x2,x<0,
則函數(shù)f(x)在定義域上為增函數(shù),
若若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$,2+$\sqrt{2}$],不等式f(x+t)≤f($\sqrt{2}$x)恒成立,
則若對任意的x∈[-2-$\sqrt{2}$,2+$\sqrt{2}$],不等式x+t≤$\sqrt{2}$x恒成立,
即t≤$\sqrt{2}$x-x=($\sqrt{2}$-1)x成立,
∵-2-$\sqrt{2}$≤x≤2+$\sqrt{2}$],
∴($\sqrt{2}$-1)(-2-$\sqrt{2}$)≤($\sqrt{2}$-1)x≤(2+$\sqrt{2}$)($\sqrt{2}$-1),
即-$\sqrt{2}$≤($\sqrt{2}$-1)x≤$\sqrt{2}$,
即t≤-$\sqrt{2}$,
即實數(shù)t的取值范圍是(-∞,-$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題,利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式以及判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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