Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，解答下列問(wèn)題：
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，作差b_n+1-b_n=1，即可證明；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n，進(jìn)而得到a_n．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
（2）由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，解得a_n=1+$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．