Question

7．已知拋物線E：y=mx²（m＞0），圓C：x²+（y-2）²=4，點(diǎn)F是拋物線E的焦點(diǎn)，點(diǎn)N（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）為拋物線E上的動點(diǎn)，點(diǎn)M（2，-$\frac{1}{2}$），線段MF恰被拋物線E平分．
（1）求m的值；
（2）若y₀＞4，過點(diǎn)N向圓C作切線，求兩條切線與x軸圍成的三角形面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）線段MF的中點(diǎn)P（1，$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$）在拋物線E上，建立方程，即可求m的值；
（2）設(shè)切線：y-y₀=k（x-x₀），切線與x軸交于點(diǎn)（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圓心到切線的距離d=$\frac{|-2+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，由此能求出兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

解答 解：（1）拋物線E的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4m}$），
線段MF的中點(diǎn)P（1，$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$）在拋物線E上，∴$\frac{1}{8m}$-$\frac{1}{4}$=m，
∴m=$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{2}$（舍去）；
（2）設(shè)切線：y-y₀=k（x-x₀），即：kx-y+y₀-kx₀=0，
切線與x軸交于點(diǎn)（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），
圓心到切線的距離d=$\frac{|-2+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴4+y₀²+k²x₀²-4y₀+4kx₀-2x₀y₀k=4k²+4，
化簡得：（x₀²-4）k²+2x₀（2-y₀）k+y₀²-4y₀=0，
設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
S=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|y₀=$\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}\frac{|{k}_{1}-{k}_{2}|}{|{k}_{1}{k}_{2}|}$=$\frac{2{y}_{0}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}}{{y}_{0}-4}$=$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{y}_{0}-4}$
=2[$\frac{16}{{y}_{0}-4}$+（y₀-4）+8]≥2（2×4+8）=32．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16}{{y}_{0}-4}$=y₀-4，即y₀=8時取等號．
故兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，具體涉及到拋物線的基本性質(zhì)及應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，軌跡方程的求法和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，易錯點(diǎn)是均值定理的應(yīng)用．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．