Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lna+lnx}{x}$在[1，+∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤e
• B． 0＜a≤e
• C． a≥e
• D． 0＜a＜$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立問題求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-lna-lnx}{{x}^{2}}$，
由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
即1-lna-lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nx≥ln$\frac{e}{a}$恒成立，
∴l(xiāng)n$\frac{e}{a}$≤0，即$\frac{e}{a}$≤1，
∴a≥e
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性問題，基本思路是，當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，則f′（x）≥0在D上恒成立；當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，則f′（x）≤0在D上恒成立．