Question

15．已知函數(shù)f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，4），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）與（4，+∞），求k的值．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＜0，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，而f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，4），它們是同一區(qū)間，建立等式關(guān)系，即可求出k的值．

解答 解：f′（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或$\frac{2k+2}{k}$而 $\frac{2k+2}{k}$＞2，
令f′（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，$\frac{2k+2}{k}$），
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{2k+2}{k}$），
根據(jù)題意可知（0，4）=（0，$\frac{2k+2}{k}$），
即$\frac{2k+2}{k}$=4，解得k=1，
所以k的值為1．

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題．