Question

18．已知集合P={x|x²-3x+b=0}，Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}
（1）若b=4是否存在集合M使得P?M⊆Q？若存在，求出所有符合題意的集合M，若不存在，請說明理由
（2）P能否成為Q的一個(gè)子集？若能，求出b的值或取值范圍，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于集合Q={-1，1，-4}，當(dāng)b=4時(shí)，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集，從而得到M．
（2）當(dāng)P=∅，△=9-4b＜0時(shí)，有b＞$\frac{9}{4}$．當(dāng)P≠∅，方程x²-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)，把x=-1，1，-4代入檢驗(yàn)，由此得到實(shí)數(shù)b的取值范圍

解答 解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x²+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，
當(dāng)b=4時(shí)，集合P=∅，再由 P?M⊆Q可得，M是Q的非空子集．
共有 2³-1=7 個(gè)，
分別為{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．
（2）∵P⊆Q，對于方程x²-3x+b=0，
當(dāng)P=∅，△=9-4b＜0時(shí)，有b＞$\frac{9}{4}$．
△=9-4b≥0時(shí)，P≠∅，方程x²-3x+b=0有實(shí)數(shù)根，且實(shí)數(shù)根是-1，1，-4中的數(shù)．
若-1是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=-4，此時(shí)P={-1，4}，不滿足P⊆Q，故舍去．
若1是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=2，此時(shí)P={1，2}，不滿足P⊆Q，故舍去．
若-4是方程x²-3x+b=0的實(shí)數(shù)根，則有b=-28，此時(shí)P={-4，7}，不滿足P⊆Q，故舍去．
綜上可得，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（$\frac{9}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．注意檢驗(yàn)P⊆Q，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．