Question

9．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分圖象如圖：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{4}$倍，再沿x軸向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象確定A，ω和φ的值即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)平移關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由圖象知A=1，函數(shù)的周期T=4•[$\frac{π}{3}$-（-$\frac{2π}{3}$）]=4π，
即$\frac{2π}{ω}$=4π，則ω=$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)圖象與x的交點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{π}{3}$，0），
∴Asin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ）=0
即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0
即$\frac{π}{6}$+φ=kπ，即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時，φ=-$\frac{π}{6}$，
即f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），
則f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）若將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小到原來的$\frac{1}{4}$倍，得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
再沿x軸向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，
即g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
則當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值2，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取得最小值-1，
即函數(shù)g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域是[-1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．