Question

4．已知函數(shù)f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）當(dāng)m=-9時，求滿足f（x+1）＞f（x）的實數(shù)x的范圍；
（2）若$f（x）≤{（\frac{9}{2}）^x}$對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2•3^x+1-9•2^x+1+＞2•3^x-9•2^x，化簡可得，2^x-2＜3^x-2，即為（$\frac{3}{2}$）^x-2＞1=（$\frac{3}{2}$）⁰，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得$m≤{（\frac{3}{2}）^{2x}}-2{（\frac{3}{2}）^x}$，令$t={（\frac{3}{2}）^x}＞0$，即有m≤t²-2t的最小值，運用配方可得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=-9時，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
f（x+1）＞f（x），即為2•3^x+1-9•2^x+1＞2•3^x-9•2^x，
化簡可得，2^x-2＜3^x-2，即為（$\frac{3}{2}$）^x-2＞1=（$\frac{3}{2}$）⁰，
即有x-2＞0，
解得，x＞2；
（2）由$f（x）≤{（\frac{9}{2}）^x}$恒成立，即為m•2^x+2•3^x≤（$\frac{9}{2}$）^x，
可得$m≤{（\frac{3}{2}）^{2x}}-2{（\frac{3}{2}）^x}$，
令$t={（\frac{3}{2}）^x}＞0$，
即有m≤t²-2t的最小值，
由（t²-2t）_min=-1，
可得m≤-1，即實數(shù)m的范圍是（-∞，-1]．

點評 本題考查指數(shù)不等式的解法，注意運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運算性質(zhì)，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分離參數(shù)和換元法，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．