Question

7．平面上$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1，|$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$|=1，則|$\overrightarrow{a}$|的范圍是[$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$]，則|$\overrightarrow$|的范圍是[$\frac{1}{7}$，$\frac{3}{7}$]，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的取值范圍是[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$]．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$=2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$，用$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，根據(jù)$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$的范圍判斷${\overrightarrow{a}}^{2}$，${\overrightarrow}^{2}$，（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²的范圍．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$=2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$=$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{7}\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{7}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\overrightarrow{a}$²=$\frac{10}{49}$+$\frac{6}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$，${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{5}{49}$-$\frac{4}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$．（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=$\frac{17}{49}$-$\frac{8}{49}$$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∵-1≤$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$≤1，∴$\frac{4}{49}$≤${\overrightarrow{a}}^{2}$≤$\frac{16}{49}$，$\frac{1}{49}$≤${\overrightarrow}^{2}$≤$\frac{9}{49}$，$\frac{9}{49}$≤（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²≤$\frac{25}{49}$．
∴$\frac{2}{7}$≤|$\overrightarrow{a}$|≤$\frac{4}{7}$，$\frac{1}{7}$≤|$\overrightarrow$|≤$\frac{3}{7}$，$\frac{3}{7}$≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|≤$\frac{5}{7}$．
故答案為[$\frac{2}{7}$，$\frac{4}{7}$]，[$\frac{1}{7}$，$\frac{3}{7}$]，[$\frac{3}{7}$，$\frac{5}{7}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，模長公式，用$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．