Question

10．已知函數(shù)f（x）=1-$\sqrt{1-2x}$，g（x）=lnx，對于任意m≤$\frac{1}{2}$，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），則n-m的最小值為1．

Answer 1

分析 由題意可得1-$\sqrt{1-2m}$=lnn；從而可得n=${e}^{1-\sqrt{1-2m}}$；令1-$\sqrt{1-2m}$=t，t＜1；則m=t-$\frac{{t}^{2}}{2}$，從而得到y(tǒng)=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$；求導(dǎo)求函數(shù)的最小值即可．

解答 解：由m≤$\frac{1}{2}$知，
1-$\sqrt{1-2m}$≤1；
由f（m）=g（n）可化為
1-$\sqrt{1-2m}$=lnn；
故n=${e}^{1-\sqrt{1-2m}}$；
令1-$\sqrt{1-2m}$=t，t≤1；
則m=t-$\frac{{t}^{2}}{2}$，
則y=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$；
故y′=e^t+t-1在（-∞，1]上是增函數(shù)，
且y′=0時，t=0；
故y=n-m=e^t-t+$\frac{{t}^{2}}{2}$在t=0時有最小值，
故n-m的最小值為1；
故答案為：1．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)法以及換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．