Question

16．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
（1）若a=1，求f（0）的值；
（2）探究f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，判斷|f（ax）|與f（2）的大�。�

Answer 1

分析 （1）直接代入即可獲得解答；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先應(yīng)在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并規(guī)定大小，然后通過作差法分析獲得兩數(shù)對應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系即可；
（3）充分利用好函數(shù)的奇偶性，即可求的a的值，通過討論x的范圍，判斷出|f（x）|、f（2）的大小關(guān)系．

解答 解：（1）a=1時(shí)：f（0）=1-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）的定義域?yàn)镽∴任取x₁x₂∈R且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵y=2^x在R是單調(diào)遞增且x₁＜x₂
∴0＜2^x1＜2^x2，∴2^x1-2^x2＜0，
2^x1+1＞0，2^x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x），
即a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=-a+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增
∴x＞2或x＜-2時(shí)：|f（x）|＞f（2），
x=±2時(shí)：|f（x）|=f（2），
-2＜x＜2時(shí)：|f（x）|＜f（2）．

點(diǎn)評 本題考查的是函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等知識的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了計(jì)算的能力、單調(diào)性定義的應(yīng)用以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會和反思．