Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（其中e為常用對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求證：f（x）≥x+1；
（Ⅱ）求證：f（x）＞ln（x+m），其中常數(shù)m≤2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）構造g（x）=e^x-x-1，將證明不等式恒成立問題轉化為函數(shù)g（x）≥0恒成立的問題，可利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，確定出函數(shù)g（x）的最小值，問題得以證明．
（Ⅱ）h（x）=x+1-ln（x+m），將證明不等式恒成立問題轉化為函數(shù)h（x）＞0恒成立的問題，可利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，確定出函數(shù)h（x）的最小值，問題得以證明．

解答： 證明：（Ⅰ）∵f（x）=e^x，
設g（x）=e^x-x-1，
∴g'（x）=e^x-1，
當x＞0時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
當x＜0時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減．
∴當x=0時，g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）≥0，
即f（x）≥x+1．
（Ⅱ）設h（x）=x+1-ln（x+m），
∴h′(x)=1-

1

x+m

=

x+m-1

x+m

(x＞-m)．
當x＞-m+1時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；
當x=1-m時，h（x）_min=h（1-m）=2-m，
∴h（x）≥h（-m+1）=2-m≥0，
即x+1≥ln（x+m），當m=2，x=-1時取等號，
由（Ⅰ）所以f（x）＞ln（x+m）．

點評：本題考查導數(shù)在最值問題中的應用，本題是一個證明題，將不等式證明問題轉化為函數(shù)最值問題求解是證明與變量有關的不等式的常用方法，解題的關鍵是將不等式恒成立的問題轉化為求函數(shù)的最值，本題考查了函數(shù)思想轉化思想，用函數(shù)法證明不等式，其難點是構造恰當?shù)暮瘮?shù)，本題技巧性強，考查了觀察能力及轉化化歸的能力