Question

15．求函數(shù)y=cos2x+sinx；x∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]的值域．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化簡得到y(tǒng)關(guān)于sinx的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：y=cos2x+sinx=1-2sin²x+sinx=-2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$．
∵x∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，∴sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴當sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)y=cos2x+sinx取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當sinx=1時，函數(shù)y=cos2x+sinx取得最小值0．
∴函數(shù)y=cos2x+sinx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的值域為[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．