Question

20．過點(diǎn)（0，2b）的直線l與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的一條斜率為正值的漸近線平行，若雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． （2，+∞）
• C． （1，2）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，直線l與bx-ay=0的距離恒大于等于b，建立不等式，即可求出雙曲線C的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，直線l的方程為y=$\frac{a}$x+2b，即bx-ay+2ab=0．
∵雙曲線C的右支上的點(diǎn)到直線l的距離恒大于b，
∴直線l與bx-ay=0的距離恒大于等于b，
∴$\frac{2ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$≥b，
∴3a²≥b²，
∴3a²≥c²-a²，
∴e≤2，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意雙曲線的漸近線的斜率的靈活運(yùn)用．