Question

4．定義在全體正實(shí)數(shù)上的函數(shù)f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示lnb≥ln2a且f（2a+b）≥1，則$\frac{3b+6}{2a+4}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞]
• B． [2，+∞]
• C． [$\frac{3}{4}$，2]
• D． [0，3]

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的關(guān)系式，根據(jù)線性規(guī)劃求出斜率的最小值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增
∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）≥1，f（4）=1
∴2a+b≥4，
∵lnb≥ln2a，
∴b≥2a，
又由a＞0．b＞0，
$\frac{3b+6}{2a+4}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{b+2}{a+2}$），
點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，包括邊界，
$\frac{b+2}{a+2}$的幾何意義是區(qū)域的點(diǎn)與A（-2，-2）連線的斜率，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{b=2a}\\{2a+b=4}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2，
即B（1，2），
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，斜率最小，即為$\frac{2+2}{1+2}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{3b+6}{2a+4}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{b+2}{a+2}$）≥$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)得一、幾何意義是解決本題的關(guān)鍵