8.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.
(1)求證:BC∥平面PAD;
(2)若AE⊥PC,E為垂足,求證:PD⊥平面ABE.

分析 (1)由AD∥BC,能證明BC∥平面PAD.
(2)由線面垂直得PA⊥CD,由勾股定理得AC⊥CD,從而CD⊥平面PAC,進(jìn)而得到AE⊥平面PCD,由此能證明PD⊥平面ABE.

解答 (1)證明:∵AD∥BC,
AD?平面PAD,BC?平面PAD,
∴BC∥平面PAD.
(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PD與底面成30°角,
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,AC=CD=$\sqrt{2}$,∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD,
又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,
∵AE?平面PAC,∴CD⊥AE,
又AE⊥PC,PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD,
∴AE⊥PD,又AB⊥PD,∴PD⊥平面ABE.

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線面垂直的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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