Question

5．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC邊上的一點（含端點），則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是[-6，1]．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，求出各點坐標，使用坐標計算．

解答 解：以BC所在直線為x軸，以B為原點建立平面直角坐標系，
∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{7}$．∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{9+7-4}{6\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．
∴A（$\frac{6}{\sqrt{7}}$，$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$），B（0，0），C（$\sqrt{7}$，0）．
設D（a，0），則$\overrightarrow{AD}$=（a-$\frac{6}{\sqrt{7}}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{7}$，0）．
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{7}$a-6．
∵D是BC邊上的一點（含端點），∴0≤a≤$\sqrt{7}$．
∴當a=0時，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$取得最小值-6，當a=$\sqrt{7}$時，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$取得最大值1．
故答案為[-6，1]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立坐標系是常用方法，屬于中檔題．