Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（2，$\sqrt{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若直線L與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點N（1，1），求直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，兩式相減并且利用中點坐標(biāo)公式與斜率計算公式可得$\frac{2}{8}+\frac{2k}{4}$=0，解得k即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=c²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
可得$\frac{2}{8}+\frac{2k}{4}$=0，解得k=$-\frac{1}{2}$．
∴直線L的方程為y-1=$-\frac{1}{2}$（x-1），
化為：x+2y-3=0．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點差法”、點斜式、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．