Question

9．如圖：邊長為4的正方形ABCD的中心為E，以E為圓心，1為半徑作圓．點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊AB，BC，CD上的任意一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$的取值范圍為[-12，12]．

Answer 1

分析 先以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{DA}=（0，-4）$，設(shè)P（cosα，sinα），分Q在邊AB，BC，CD上三種情況，當(dāng)Q在邊AB上時可設(shè)Q（x₀，-2），求出$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，-2-sinα）$，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=8+4sinα$，所以由-4≤4sinα≤4可得到4$≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$，同樣的辦法求出另外兩種情況下的$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$的取值范圍，最后對這三種情況下所得$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$求并集即可得到$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$的取值范圍．

解答 解：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸∥AB，y軸∥AD，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
設(shè)P（cosα，sinα），$\overrightarrow{DA}=（0，-4）$；
（1）若Q點(diǎn)在邊AB上，設(shè)Q（x₀，-2），-2≤x₀≤2，則：
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，-2-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=8+4sinα$；
-4≤4sinα≤4；
∴$4≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$；
（2）若Q點(diǎn)在邊BC上，設(shè)Q（2，y₀），-2＜y₀≤2，則：
$\overrightarrow{PQ}=（2-cosα，{y}_{0}-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$=-4y₀+4sinα；
-8＜-4y₀≤8，-4≤4sinα≤4；
∴$-12＜\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$；
（3）若Q點(diǎn)在邊CD上，設(shè)Q（x₀，2），-2≤x₀＜2，則：
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，2-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=-8+4sinα$；
∴$-12≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}＜-4$；
∴綜上可得$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}∈[-12，12]$．
故答案為：[-12，12]．

點(diǎn)評 考查建立平面直角坐標(biāo)系解決問題的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，討論Q點(diǎn)所在的邊是求解本題的關(guān)鍵．