Question

4．設(shè)函數(shù)y=f （x）的定義域為D，如果存在非零常數(shù)T，對于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（ x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：
①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”；
③函數(shù)f（x）=2^x是“似周期函數(shù)”；
④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命題的序號是①④．（寫出所有滿足條件的命題序號）

Answer 1

分析 ①由題意知f（x-1）=-f（x），從而可得f（x-2）=-f（x-1）=f（x）；
②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；從而可判斷；
③由f（x+T）=T•f （x）得2^x+T=T2^x恒成立；從而可判斷；
④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT-sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{cosωT=T}\\{sinωT=0}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：①∵似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x-2）=-f（x-1）=f（x），
故它是周期為2的周期函數(shù)，
故正確；
②若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T•f （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T-1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
故錯誤；
③若函數(shù)f（x）=2^x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T•f （x），
即2^x+T=T2^x恒成立；
故2^T=T成立，無解；
故錯誤；
④若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T•f （x），
即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；
故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT-sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{cosωT=T}\\{sinωT=0}\end{array}\right.$，
故ω=kπ，k∈Z；
故正確；
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力，同時考查了恒成立問題．