Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，若不等式f（-2m²+2m-1）+f（8m+e^k）＞0（e是自然對數(shù)的底數(shù)），對任意的m∈[-2，4]恒成立，則整數(shù)k的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．定義域為R，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
證明：設x₁，x₂是R內(nèi)任意兩個值，且x₁＜x₂．
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}-1}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}-1}}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$①．
又因為x₁＜x₂，所以${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$．
所以①＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）是R上的增函數(shù)．
則不等式若不等式f（-2m²+2m-1）+f（8m+e^k）＞0等價為若不等式f（8m+e^k）＞-f（-2m²+2m-1）=f（2m²-2m+1），
即8m+e^k＞2m²-2m+1，
即e^k＞2m²-10m+1，
設g（m）=2m²-10m+1，則函數(shù)的對稱軸為m=$-\frac{-10}{2×2}$=$\frac{5}{2}$，
則當m∈[-2，4]時，當m=-2時，函數(shù)g（m）取得最大值g（-2）=29，
即e^k＞g（m）_max=29，
則k＞ln29．
∵k是整數(shù)，
∴k的最小值是4，
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關鍵．，利用轉(zhuǎn)化法和參數(shù)分離法是解決不等式恒成立問題的思路．