Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且公比q＞1，a₁=1，S₄=5S₂．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=2na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的求和公式及S₄=5S₂化簡(jiǎn)可知（1-q²）（1+q²）=5（1-q²），進(jìn)而可知公比q=2，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=n•2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由S₄=5S₂，得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，
即（1-q²）（1+q²）=5（1-q²），
因?yàn)閝＞1，所以1-q²≠0，
從而1+q²=5，從而q=2，
于是a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=2na_n=n•2ⁿ，
所以T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ                        ①
則2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹             ②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．