Question

16．定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為遞增函數(shù)．
（1）求f（1）、f（-1）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）解不等式$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）≤0$．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是偶函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合即可解不等式$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）≤0$．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0…（2分）
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0…（4分）
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），…（6分）
∴f（-x）=f（x）…（7分）
∴f（x）是偶函數(shù)  …（8分）
（3）根據(jù)題意可知，函數(shù)y=f（x）的圖象大致如右圖：
∵$f（2）+f（x-\frac{1}{2}）=f（2x-1）≤0$，…（9分）
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1，…（11分）
∴$0≤x＜\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x≤1$…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．