Question

7．已知四邊形ABCD為平行四邊形，
（Ⅰ）證明?ABCD的對角線的平方和等于?ABCD四條邊的平方和；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$，若CE與BF相交于點(diǎn)G，且$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，試求實(shí)數(shù)λ，μ的值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示平行四邊形ABCD，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，∠DAB=θ，$|\overrightarrow{a}|$=a，$|\overrightarrow|$=b．則$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可證明．
（2）利用向量共線定理、向量共面基本定理即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示平行四邊形ABCD，
設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，∠DAB=θ，$|\overrightarrow{a}|$=a，$|\overrightarrow|$=b．
則$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$．
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）^{2}$=${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{BD}{|}^{2}$=2（a²+b²）．
∴?ABCD的對角線的平方和等于?ABCD四條邊的平方和．
（2）解：連接AG．
∵B，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
∴可設(shè)$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AF}$+（1-m）$\overrightarrow{AB}$=m•$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+（1-m）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}m\overrightarrow$+（1-m）$\overrightarrow{a}$，
另一方面：C，G，E三點(diǎn)共線可得：$\overrightarrow{BG}$=n$\overrightarrow{BE}$+（1-n）$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{1}{2}n\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}$=（1-$\frac{1}{2}$n）$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m=1-\frac{1}{2}n}\\{\frac{1}{2}m=1-n}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$，n=$\frac{4}{5}$．
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow$．
又$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，
∴λ=$\frac{3}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、向量共面基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．