Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若點F₂關于一條漸近線的對稱點為M，則|F₁M|=4．

Answer 1

分析 取雙曲線的漸近線y=$\frac{3}{2}$x，利用點F₂關于一條漸近線的對稱點為M，求出M的坐標，利用兩點間的距離公式求出|MF₁|．

解答 解：取雙曲線的漸近線y=$\frac{3}{2}$x，設點F₂（$\sqrt{13}$，0）關于此直線的對稱點M的坐標為（m，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-\sqrt{13}}•\frac{3}{2}=-1}\\{\frac{n}{2}=\frac{3}{2}•\frac{m+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{8}{\sqrt{13}}-\sqrt{13}$=-$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，n=$\frac{12}{\sqrt{13}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．即M（-$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，$\frac{12\sqrt{13}}{13}$）．
∴|MF₁|=$\sqrt{（-\frac{5\sqrt{13}}{13}+\sqrt{13}）^{2}+（\frac{12\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=4．
故答案為：4．

點評 本題綜合考查了雙曲線的性質、兩點間的距離公式、軸對稱的性質等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．