Question

18．已知點(diǎn)P和不共線三點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)共面且對于空間任一點(diǎn)O，都有$\overrightarrow{OP}$=-2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，則λ=2．

Answer 1

分析 分別用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CP}$，根據(jù)平面向量的基本定理可知$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，列出方程組解出λ即可．

解答 解：$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=-3$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=-2$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+（λ-1）$\overrightarrow{OC}$，
∵P，A，B，C四點(diǎn)共面，∴存在m，n∈R使得$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{BP}$+n$\overrightarrow{CP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m-2n=-3}\\{n=1}\\{n（λ-1）+mλ=λ}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{2}$，n=1，λ=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本道理及線性運(yùn)算，列出方程組是解題關(guān)鍵．