Question

14．如圖，在棱長為2 的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CDD₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，且MP∥截面AB₁C，則線段MP長度的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\sqrt{2}，\sqrt{6}}]$
• B． $[{\sqrt{6}，2\sqrt{2}}]$
• C． $[{\sqrt{6，}2\sqrt{3}}]$
• D． $[{\sqrt{6，}3}]$

Answer 1

分析 取CD的中點(diǎn)N，CC₁的中點(diǎn)R，B₁C₁的中點(diǎn)H，證明平面MNRH∥平面AB₁C，MP?平面MNRH，線段MP掃過的圖形是△MNR，通過證明MN²=NR²+MR²，說明∠MRN是直角，可得線段MP長度的取值范圍是：（MR，MN），從而得解．

解答 解：取CD的中點(diǎn)N，CC₁的中點(diǎn)R，B₁C₁的中點(diǎn)H，
則MN∥B₁C∥HR，MH∥AC，
故平面MNRH∥平面AB₁C，
MP?平面MNRH，線段MP掃過的圖形是△MNR，
由AB=2，則MN=2$\sqrt{2}$，NR=$\sqrt{2}$，MR=$\sqrt{6}$，
∴MN²=NR²+MR²，
∴∠MRN是直角，
∴線段MP長度的取值范圍是：（MR，MN），即：（$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體中點(diǎn)的軌跡，直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．