Question

9．在直角△ABC中，∠C是直角，頂點A，B的坐標分別為（-4，4），（2，-4），圓E是△ABC的外接圓．
（1）求圓E的方程；
（2）求過點M（4，10）且與圓E相切的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形的性質，求出圓心坐標和半徑即可得到結論．
（2）根據直線和圓相切的性質，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，頂點A，B的坐標分別為（-4，4），（2，-4），
∴AB是直徑，則AB的中點（-1，0），即圓心E（-1，0），
半徑R=|BE|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-4）^{2}}$=$\sqrt{9+16}$=$\sqrt{25}$=5，
則圓E的方程為（x+1）²+y²=25．
（2）∵（4+1）²+10²=125＞25，
∴點M在圓外，
當切線斜率不存在時，此時切線方程為x=4，到圓心的距離d=4-（-1）=5．此時滿足直線和圓相切，
當直線斜率存在時，設為k，則切線方程為y-10=k（x-4），
即kx-y+10-4k=0，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|-k+10-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|10-5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，
即|2-k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，平方得4-4k+k²=1+k²，
即4k=3，
則k=$\frac{3}{4}$，此時切線方程為3x-4y+28=0，
綜上求過點M（4，10）且與圓E相切的直線的方程為3x-4y+28=0或x=4．

點評 本題主要考查圓的標準方程以及直線和圓的切線，利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．