Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x_i（i=1，2，3）滿(mǎn)足f（x）=ax．
（i）證明：?a∈（0，1），f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞$\frac{{a}^{3}}{2}$；
（ii）求實(shí)數(shù)a的取值范圍及x₁•x₂•x₃的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，討論單調(diào)區(qū)間，可得最小值；
（Ⅱ）（i）求出f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）-$\frac{{a}^{3}}{2}$，構(gòu)造函數(shù)g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，利用導(dǎo)數(shù)求得g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，問(wèn)題得以證明；
（ii）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論0＜a＜$\frac{1}{2}$f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得到x₁•x₂•x₃的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[1，a]遞減，在[a，+∞）遞增，
可得f（x）在x=a取得極小值，且為最小值lna+1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）遞增，
f（1）取得最小值，且為a．
綜上可得當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的最小值為lna+1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的最小值為a；
（Ⅱ）（i）證明：∵f（x）-ax=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
∴f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）-$\frac{{a}^{3}}{2}$=ln$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
令g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
∴g′（a）=$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{2}$=$\frac{-3{a}^{4}+4（a-1）}{2{a}^{2}}$，
∴a∈（0，1）時(shí)，g'（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
∴g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，
∴?a∈（0，1），f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞$\frac{{a}^{3}}{2}$；
（ii）∵f（x）-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）-a=$\frac{1}{x}$-a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=a，∴-ax²+x-a=0，
∵函數(shù)f（x）-ax存在不同的零點(diǎn)，∴△=1-4a²＞0，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）=a，得，x₄=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，x₅=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，
此時(shí)，f（x）在（0，x₄）上遞減，（x₄，x₅）上遞增，（x₅，+∞）上遞減，
∴f（x）至多有三個(gè)零點(diǎn)．
∵f（x）在（x₄，1）遞增，∴f（x₄）＜f（1）=a，
又∵f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞$\frac{{a}^{3}}{2}$，
∴?x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{2}$，x₄），使得f（x₀）=a，
又f（ $\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x₀）=a，f（1）=a，
∴恰有三個(gè)不同零點(diǎn)：x₀，1，$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴函數(shù)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）；
且x₁•x₂•x₃的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．