Question

5．若a=${∫}_{0}^{1}$x²dx，則二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-$\frac{20}{27}$．

Answer 1

分析 由定積分可得a值，由二項(xiàng)式定理可得．

解答 解：求定積分可得a=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶=（$\frac{1}{3}$$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶，
展開(kāi)式通項(xiàng)T_k+1=${C}_{6}^{k}$（$\frac{1}{3}$$\sqrt{x}$）^6-k（-$\frac{1}{\sqrt{x}$）^k
=（-1）^k${C}_{6}^{k}$•（$\frac{1}{3}$）^6-kx^3-k，
令3-k=0可得k=3，代入可得常數(shù)項(xiàng)為（-1）³${C}_{6}^{3}$•（$\frac{1}{3}$）³=-$\frac{20}{27}$
故答案為：-$\frac{20}{27}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分和二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題．