Question

16．已知f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在[-1，1]上的奇函數．試判斷它的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的性質以及函數單調性的性質進行判斷即可．

解答 解：∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴f（0）=0，即$\frac{a}{1}$=0，解得a=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
則f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
則x²-bx+1=x²+bx+1，
即-b=b，得b=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
函數的導數f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x（2x）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數單調遞增，
f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞減．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性的判斷，利用定義法和導數法是解決本題的關鍵．