Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+1（x＞0），P是函數(shù) y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P與點(diǎn)Q（-1，0）的直線與y軸交于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m，求m的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的兩點(diǎn)式寫出PQ所在直線方程，取x=0求得m，再用函數(shù)單調(diào)性求得m的最小值，并求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：P（x₀，y₀），又Q（-1，0），
∴過點(diǎn)P與點(diǎn)Q（-1，0）的直線方程為$\frac{y-{y}_{0}}{-{y}_{0}}=\frac{x-{x}_{0}}{-1-{x}_{0}}$，
即（y-y₀）（-1-x₀）=-y₀（x-x₀），
取x=0，得m=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}+{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=\frac{2{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+1}{{x}_{0}+1}$=$2{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}+1$（x₀＞0）．
∴當(dāng)${x}_{0}=\frac{1}{4}$時(shí)，${m}_{min}=2×（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+1=\frac{7}{8}$．
此時(shí)P（$\frac{1}{4}，\frac{17}{16}$）．

點(diǎn)評 本題考查利用兩點(diǎn)式求直線方程，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，屬中檔題．