7．在△ABC中，c（cosA+cosB）=a+b，試判斷三角形的形狀．

分析 利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，與已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）聯(lián)立，可求得cosC（sinB+sinA）=0，從而可判斷△ABC的形狀．

解答 解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵c（cosA+cosB）=a+b，
∴利用正弦定理可得：sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，
∴cosC（sinB+sinA）=0，
∵sinB＞0，sinA＞0，
∴cosC=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的形狀判斷，著重考查兩角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，屬于中檔題．

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