Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)到直線4x-5y+40=0的最小距離為$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，由點(diǎn)到直線距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)能求出橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)到直線4x-5y+40=0的最小距離．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，
則P到直線4x-5y+40=0的距離：d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{\sqrt{41}}{41}|25sin（α+θ）+40|$，
∴當(dāng)sin（α+θ）=-1時，橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)到直線4x-5y+40=0的最小距離為$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．
故答案為：$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是中檔題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．