Question

20．過原點(diǎn)作一條傾斜角為θ的直線與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若AF⊥BF，且該橢圓的離心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，則θ的取值范圍為$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$．

Answer 1

分析 設(shè)右焦點(diǎn)F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，推導(dǎo)出$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}$，由此根據(jù)該橢圓的離心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，能求出θ的取值范圍．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，
∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，
∵∠BAF=$\frac{1}{2}$θ，∴AF=2c•cos$\frac{θ}{2}$，BF=2c•sin$\frac{θ}{2}$，
∴2csin$\frac{θ}{2}$+2ccos$\frac{θ}{2}$=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}$，
∵該橢圓的離心率$e∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{θ}{2}+\frac{π}{4}）}≤\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵θ∈[0，π），∴$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{5π}{6}$．
∴θ的取值范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
故答案為：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

點(diǎn)評 求橢圓離心率的范圍首先要根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)找到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，求解即可得到離心率范圍．