Question

15．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，S₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，求T₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通過$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{S_3}=3{a_1}+3d=12\end{array}\right.$可知即得結(jié)論；
（2）通過裂項(xiàng)可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{S_3}=3{a_1}+3d=12\end{array}\right.$，
∴d=2，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=2+（n-1）•2=2n；
（2）∵a_n=2n，
∴${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T₂₀₁₅=T₁+T₂+T₃+…+T₂₀₁₅
=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}}）$
=$1-\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．