Question

18．對于定義在給定區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x），g（x），若存在k∈（a，b），使得f（k）=g（k）．則我們稱函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a，b]上是可粘合的，x=k為粘點，并記F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x∈[a，k]}\\{g（x），x∈（k，b]}\end{array}$為f（x）與g（x）的粘合函數(shù)．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）=2^x+3m與g（x）=m²log₂x在區(qū)間[1，4]上是一個粘點，求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）=cosx與g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，π]的中點處的粘合函數(shù)F（x）的圖象關(guān)于過粘點的直線對稱，試作出F（x）的大致圖象，并寫出解析式．
（3）若函數(shù)f（x）=p（cosx+3）-2與 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子區(qū)間[a，b]上均不是可粘合的，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x=2是函數(shù)f（x）=2^x+3m與g（x）=m²log₂x在區(qū)間[1，4]上是一個粘點可得2²+3m=m²log₂2，從而解得；
（2）作函數(shù)f（x）=cosx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]上的圖象，再關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱即可，由圖象寫出解析式即可；
（3）由函數(shù)f（x）=p（cosx+3）-2與 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子區(qū)間[a，b]上均不是可粘合的知F（x）=p（cosx+3）-2-$\sqrt{3}$psinx=2pcos（x+$\frac{π}{3}$）+3p-2在R恒大于0或恒小于0；從而分類討論轉(zhuǎn)化為最值問題即可．

解答 解：（1）∵x=2是函數(shù)f（x）=2^x+3m與g（x）=m²log₂x在區(qū)間[1，4]上是一個粘點，
∴2²+3m=m²log₂2，
解得，m=4或m=-1；
（2）區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，π]的中點為$\frac{π}{4}$，
故作函數(shù)f（x）=cosx在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]上的圖象，再關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，如下圖；

其解析式為F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]}\\{cos（\frac{π}{2}-x），x∈（\frac{π}{4}，π]}\end{array}\right.$；
（3）∵函數(shù)f（x）=p（cosx+3）-2與 g（x）=$\sqrt{3}$psinx在任何R的子區(qū)間[a，b]上均不是可粘合的，
∴F（x）=p（cosx+3）-2-$\sqrt{3}$psinx=2pcos（x+$\frac{π}{3}$）+3p-2在R恒大于0或恒小于0；
①當(dāng)p=0時，F(xiàn)（x）=-2＜0恒成立；
②當(dāng)p＜0時，
-2p+3p-2＜0或2p+3p-2＞0；
解得，p＜0；
③當(dāng)p＞0時，
2p+3p-2＜0或-2p+3p-2＞0，
解得，0＜p＜$\frac{2}{5}$或p＞2；
綜上所述，p＜$\frac{2}{5}$或p＞2．

點評 本題考查了學(xué)生的作圖能力及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了學(xué)生對新定義的接受能力，屬于難題．