Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…
（1）證明：數(shù)列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差數(shù)列，并求S_n；
（2）設(shè)b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入S_n=n²a_n-n（n-1），即可得到$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$（n≥2），從而說明數(shù)列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
（2）把S_n代入b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1），整理后分組，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答 （1）證明：由S_n=n²a_n-n（n-1），得${S}_{n}={n}^{2}（{S}_{n}-{S}_{n-1}）-n（n-1）$（n≥2），
即$（{n}^{2}-1）{S}_{n}-{n}^{2}{S}_{n}=n（n-1）$，即$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$（n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是公差為1的等差數(shù)列，
又首項(xiàng)為$\frac{2}{2-1}{S}_{1}=2{a}_{1}=2×\frac{1}{2}=1$，
∴$\frac{n+1}{n}$S_n=1+（n-1）×1=n，
則${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
（2）解：b_n=S_n×$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1）=$\frac{{n}^{2}}{n+1}×$$\frac{{4}^{n}-（-2）^{n}}{{n}^{2}}$×（n+1）=4ⁿ-（-2）ⁿ，
∴T_n=（4¹+4²+…+4ⁿ）-[（-2）¹+（-2）²+…+（-2）ⁿ]
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1+2}$=$\frac{{4}^{n+1}-（-1）^{n}•{2}^{n+1}-2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的分組求和，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是中檔題．