Question

20．在數(shù)列{a_n}中，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1且S_n+n²=n（a_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$•3^n-1，B_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求B_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{2_{n}}{n}$+（-1）ⁿln$\frac{2_{n}}{n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和C_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$•3^n-1=n•3^n-1．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）c_n=$\frac{2_{n}}{n}$+（-1）ⁿln$\frac{2_{n}}{n}$=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+n²=n（a_n+1），∴當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}+（n-1）^{2}$=（n-1）（a_n-1+1）．相減可得：a_n+2n-1=na_n-（n-1）a_n-1+1，化為：a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$•3^n-1=n•3^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1．
∴3B_n=3+2×3²+3×3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
∴-2B_n=1+3+3²+…+3^n-1-+n•3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n•3ⁿ=$\frac{1-2n}{2}•{3}^{n}$-$\frac{1}{2}$，
∴B_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}$+$\frac{1}{4}$．
（3）c_n=$\frac{2_{n}}{n}$+（-1）ⁿln$\frac{2_{n}}{n}$=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和C_n=$\frac{2×（{3}^{n}-1）}{3-1}$+0+ln3[（-0+1）+（-2+3）+…+（-n+1+n）]
=3ⁿ-1+$\frac{n}{2}$ln3．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和C_n=C_n-1+c_n
=3^n-1-1+$\frac{n-1}{2}ln3$+2•3^n-1-[ln2+（n-1）ln3]
=3ⁿ-1-$\frac{n-1}{2}ln3$-ln2．
∴C_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-1+\frac{n}{2}ln3，n為偶數(shù)}\\{{3}^{n}-1-\frac{n-1}{2}ln3-ln2，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．