Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊長，向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA），$\overrightarrow{n}$=（sinA，$\frac{3}{2}$），已知$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線．
（1）求角A的大�。�
（2）若b+c=$\frac{11}{2}$，且△ABC的面積等于$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量共線的坐標表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，即可得到A的大��；
（2）運用三角形的面積公式可得bc=$\frac{11}{2}$，再由余弦定理，可得a，再由正弦定理，即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA），$\overrightarrow{n}$=（sinA，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線．
可得sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）=$\frac{3}{2}$，即為$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=$\frac{3}{2}$，
即有sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，即為2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$；
（2）△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即有bc=6，又b+c=$\frac{11}{2}$，
則a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc=$\frac{121}{4}$-18=$\frac{49}{4}$，
解得a=$\frac{7}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查向量共線的坐標表示，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式的運用，考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查運算求解的能力，屬于中檔題．