Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2（a≠0），將y=f（x）的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若y=h（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，求函數(shù)y=h（x）的解析式（只需要寫出結(jié)果，不需要證明）；
（3）設(shè)F（x）=f（x）+$\frac{1}{a}$h（x），已知F（x）的最小值為m，且m$＞\sqrt{7}$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可得把函數(shù)的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的平移變換法則可得到g（x）的表達式．
（2）利用對稱性直接寫出結(jié)果即可．
（3）寫出函數(shù)的解析式，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，集合已知條件即可求出a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2（a≠0），將y=f（x）的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=$\frac{a}{{2}^{x}}-{2}^{x}$，
（2）y=h（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y=h（x）的解析式：y=$-\frac{a}{{2}^{x}}+{2}^{x}$．
（3）F（x）=f（x）+$\frac{1}{a}$h（x）=$\frac{a}{{2}^{x-2}}$-2^x-2$-\frac{1}{{2}^{x}}+\frac{1}{a}{•2}^{x}$=$\frac{4a-1}{{2}^{x}}+（\frac{1}{a}{-\frac{1}{4}）•2}^{x}$，
F（x）的最小值為m，且m$＞\sqrt{7}$，
當4a-1＞0，$\frac{1}{a}-\frac{1}{4}＞0$，即$\frac{1}{4}＜a＜4$時，$\frac{4a-1}{{2}^{x}}+{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•2}^{x}≥2\sqrt{\frac{4a-1}{{2}^{x}}•{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）•2}^{x}}$＞$\sqrt{7}$，
可得$2\sqrt{（4a-1）•{（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）}^{\;}}＞\sqrt{7}$，
解得：$\frac{1}{2}＜a＜2$．
實數(shù)a的取值范圍：$（\frac{1}{2}，2）$．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象的變化規(guī)律，熟練掌握函數(shù)圖象的平移變換法則，考查基本不等式的應用．