Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{x-a}{x}$，其中a為常數(shù)，且a＞0．
（1）若函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線y=x+1垂直，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求出f′（1），由題意可得f′（1）=-1，由此求得a值，代入原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分類得到原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，由最小值等于$\frac{1}{2}$求得a值．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{x-a}{{x}^{2}}（x＞0）$．
（1）∵曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線y=x+1垂直，∴f′（1）=-1，解得a=2．
當(dāng)a=2時，f（x）=lnx-$\frac{x-2}{x}$，f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}（x＞0）$，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）；
（2）當(dāng)0＜a＜2時，由f′（x）=0得，x=a∈（0，2），
∵對于x∈（0，a）有f′（x）＜0，f（x）在（0，a]上為減函數(shù)，對于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）=lna，令lna=$\frac{1}{2}$，得a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
當(dāng)a≥2時，f′（x）＜0在（0，2）上恒成立，這時f（x）在（0，2]上為減函數(shù)，
∴$f（x）_{min}=f（2）=ln2+\frac{a}{2}-1$，得a=3-ln4＜2（舍去）．
綜上$a={e}^{\frac{1}{2}}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．