Question

8．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8．
（1）求xy的最大值；
（2）求x+2y的最小值．

Answer 1

分析 首先分析題目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，代入已知條件，即可得到（1），（2）的最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=8-x•（2y）≥8-（$\frac{x+2y}{2}$）²（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號），
整理得（x+2y）²+4（x+2y）-32≥0，
即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時取等號），
即有2xy=8-（x+2y）≤8-4=4，
即xy≤2（當(dāng)且僅當(dāng)x=2，y=1取得等號），
可得（1）xy的最大值為2；
（2）x+2y的最小值為4．

點評 此題主要考查基本不等式的用法，對于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值最小值的問題中應(yīng)用非常廣泛，需要同學(xué)們多加注意．