Question

2．已知橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$的右焦點(diǎn)為F．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0，若點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，則橢圓E的離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 求得橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式解不等式可得1≤b＜2，運(yùn)用離心率公式，以及不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$的短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M（0，b），
點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，即為$\frac{4b}{\sqrt{9+16}}$≥$\frac{4}{5}$，
即有1≤b＜2，又a=2，c=$\sqrt{4-^{2}}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-^{2}}}{2}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案為：（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的范圍，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，以及不等式的解法和性質(zhì)，屬于中檔題．