Question

5．己知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（θ-$\frac{π}{4}$）），且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|．
（1）求tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若θ-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|列式求得tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）由（1）中求得的tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值結(jié)合平方關(guān)系求得sin（θ-$\frac{π}{4}$）與cos（θ-$\frac{π}{4}$），再由配角方法求得cosθ的值．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（0，1），C（2sin（θ-$\frac{π}{4}$），cos（θ-$\frac{π}{4}$）），
∴$\overrightarrow{AC}=（2sin（θ-\frac{π}{4}）-1，cos（θ-\frac{π}{4}））$，$\overrightarrow{BC}=（2sin（θ-\frac{π}{4}），cos（θ-\frac{π}{4}）-1）$，
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$，
∴$（2sin（θ-\frac{π}{4}）-1）^{2}+co{s}^{2}（θ-\frac{π}{4}）$=$4si{n}^{2}（θ-\frac{π}{4}）+（cos（θ-\frac{π}{4}）-1）^{2}$，
整理得：$2sin（θ-\frac{π}{4}）-cos（θ-\frac{π}{4}）=0$，
即$tan（θ-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$；
（2）由$tan（θ-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，得$\frac{sin（θ-\frac{π}{4}）}{cos（θ-\frac{π}{4}）}=\frac{1}{2}$，①
又$si{n}^{2}（θ-\frac{π}{4}）+co{s}^{2}（θ-\frac{π}{4}）=1$，②
聯(lián)立①②解得$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{cos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{cos（θ-\frac{π}{4}）=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$．
∵θ-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{5}}{5}}\\{cos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
則cosθ=cos[（$θ-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（$θ-\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（$θ-\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．